If   \Delta _ { r }  = \left| \begin{array} { c c c } { r - 1 } & | Filo
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Class 12

Math

Algebra

Matrices

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If  then  is

Solution: We have,
\begin{array}{l} \Delta x\left| { \begin{array} { *{ 20 }{ c } }{ r-1 } & n & 6 \\ { { { \left( { r-1 } \right)  }^{ 2 } } } & { 2{ n^{ 2 } } } & { 4n-2 } \\ { { { \left( { r-1 } \right)  }^{ 3 } } } & { 3{ n^{ 3 } } } & { 3{ n^{ 2 } }-3n } \end{array} } \right|  \\ \sum _{ x=1 }^{ n }{ \Delta x\left| { \begin{array} { *{ 20 }{ c } }{ \sum  r-1 } & n & 6 \\ { \sum { { \left( { r-1 } \right)  }^{ 2 } }  } & { 2{ n^{ 2 } } } & { 4n-2 } \\ { \sum { { \left( { r-1 } \right)  }^{ 3 } }  } & { 3{ n^{ 3 } } } & { 3{ n^{ 2 } }-3n } \end{array} } \right|  }  \\ =\left| { \begin{array} { *{ 20 }{ c } }{ \frac { { n\left( { r-1 } \right)  } }{ 2 }  } & n & 6 \\ { \frac { { \left( { n-1 } \right) \left( { 2n-1 } \right)  } }{ 6 }  } & { 2{ n^{ 2 } } } & { 4n-2 } \\ { \frac { { { { \left( { n-1 } \right)  }^{ 2 } }{ x^{ 2 } } } }{ 4 }  } & { 3{ n^{ 3 } } } & { 3{ n^{ 2 } }-3n } \end{array} } \right|  \\ \sum _{ x=1 }^{ n }{ \Delta x=\frac { 1 }{ { 12 } } { x^{ 2 } }\left( { x-1 } \right) \times \left| { \begin{array} { *{ 20 }{ c } }6 & n & 6 \\ { 2\left( { 2n-1 } \right)  } & { 2{ n^{ 2 } } } & { 2\left( { 2n-1 } \right)  } \\ { 3n\left( { n-1 } \right)  } & { 3{ n^{ 3 } } } & { 3n\left( { n-1 } \right)  } \end{array} } \right|  }  \\ =0 \end{array}

Hence, this is the answer.
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